Nach den YouTube-Nutzungsbestimmungen ist das Herunterladen von Videos nicht erlaubt. Aufgrund des Urheberrechtsgesetzes wird diese Regel jedoch ausser Kraft gesetzt (Stichwort Private Kopie). Da wir jedoch nicht garantieren können, dass das Urheberrechtsgestzt in Ihrem Land gleich funktioniert, erkundigen Sie sich lieber vorher, ob es im Urheberrechtsgesetz Ihres Landes einen Artikel zum Thema Privatkopie gibt, bzw. ob diese gestattet ist.
Im folgendem Abschnitt sind die Gesetzestexte für die Schweiz, Deutschland, Österreich und USA, sowie den Ausschnitt aus den Nutzungsbestimmungen von YouTube (inkl. Quellen der Gesetzestexte):

Wichtig! Auch ich bin kein Anwalt! Ich übernehme keine Verantwortung für die Richtigkeit dieser Informationen! Die folgenden Gesetzestexte wurden von legitimen Quellen zitiert. Falls die angebotene Fassung nicht (mehr) dem gesetzlich gültigem Stand entspricht, melden Sie dies bitte als Bug Report mit dem Vermerk „UrhG Korrektur (<Ihr Land>)„.

Schweiz: Urheberrechtsgesetz Art. 19
1. Veröffentlichte Werke dürfen zum Eigengebrauch verwendet werden. Als Eigengebrauch gilt:
a. jede Werkverwendung im persönlichen Bereich und im Kreis von Personen, die unter sich eng verbunden sind, wie Verwandte oder Freunde;
b. jede Werkverwendung der Lehrperson für den Unterricht in der Klasse;
c. das Vervielfältigen von Werkexemplaren in Betrieben, öffentlichen Verwaltungen, Instituten, Kommissionen und ähnlichen Einrichtungen für die interne Information oder Dokumentation. […]
Zitat aus admin.ch (Stand: 22. Dezember 2013)

Deutschland: § 53 Urheberrechtsgesetz
(1) Zulässig sind einzelne Vervielfältigungen eines Werkes durch eine natürliche Person zum privaten Gebrauch auf beliebigen Trägern, sofern sie weder unmittelbar noch mittelbar Erwerbszwecken dienen, soweit nicht zur Vervielfältigung eine offensichtlich rechtswidrig hergestellte oder öffentlich zugänglich gemachte Vorlage verwendet wird. Der zur Vervielfältigung Befugte darf die Vervielfältigungsstücke auch durch einen anderen herstellen lassen, sofern dies unentgeltlich geschieht oder es sich um Vervielfältigungen auf Papier oder einem ähnlichen Träger mittels beliebiger photomechanischer Verfahren oder anderer Verfahren mit ähnlicher Wirkung handelt. […]
Achtung! Das Deutsche Urheberrechtsgesetz geht sehr ausführlich mit dem Thema „Privatkopie“ um. Es wird empfohlen, die unten angegebene Quelle zu konsultieren.
Zitat aus gesetze-im-internet.de (Stand: 22. Dezember 2013)

Österreich: §42 Urheberrechtsgesetz
(1) Jedermann darf von einem Werk einzelne Vervielfältigungsstücke auf Papier oder einem ähnlichen Träger zum eigenen Gebrauch herstellen.
(2) Jedermann darf von einem Werk einzelne Vervielfältigungstücke auf anderen als den in Abs. 1 genannten Trägern zum eigenen Gebrauch zu Zwecken der Forschung herstellen, soweit dies zur Verfolgung nicht kommerzieller Zwecke gerechtfertigt ist. […]
Zitat aus ris.bka.gv.at (Stand: 22. Dezember 2013)

USA: 17 USC §107 United States Code
Notwithstanding the provisions of sections 106 and 106A, the fair use of a copyrighted work, including such use by reproduction in copies or phonorecords or by any other means specified by that section, for purposes such as criticism, comment, news reporting, teaching (including multiple copies for classroom use), scholarship, or research, is not an infringement of copyright. In determining whether the use made of a work in any particular case is a fair use the factors to be considered shall include—
(1) the purpose and character of the use, including whether such use is of a commercial nature or is for nonprofit educational purposes;
(2) the nature of the copyrighted work;
(3) the amount and substantiality of the portion used in relation to the copyrighted work as a whole; and
(4) the effect of the use upon the potential market for or value of the copyrighted work.
The fact that a work is unpublished shall not itself bar a finding of fair use if such finding is made upon consideration of all the above factors.
Zitat aus copyright.gov (Stand: 22. Dezember 2013)

Nutzungsbestimmungen von YouTube: 9. YouTube-Inhalte auf der Website
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Zitat aus youtube.com (Stand: 22. Dezember 2013)